(კრებულიდან — “აუცილებლობის ასპექტები: აპრიორულობა, იგივეობა, წინააღმდეგობა”. თბილისი 2009. რედაქტორები: ლ. მჭედლიშვილი და თ.ცხადაძე)
მრავალფასა ლოგიკის შექმნის მოტივი, ყოველ შემთხვევაში, ი.ლუკასევიჩთან იყო ლოგიკური აპარატის შექმნა ისეთი პრობლემების ანალიზისათვის, რომელთა მიმართ კლასიკური ლოგიკის გამოყენება სიძნელეებს აწყდებოდა. კერძოდ, ლუკასევიჩს სამფასა ლოგიკა ჩაფიქრებული ჰქონდა როგორც ბაზისი არისტოტელეს ფატალისტური არგუმენტის კრიტიკისა და ინდეტერმინიზმის კონცეფციის დაფუძნებისთვის. გასული საუკუნის 70-იანი წლებიდან ლოგიკოსების ყურადღების არეში ექცევა წინააღმდეგობრივი თეორიების გამოსადეგობის, ვარგისიანობის პრობლემა, რომელიც შემდეგნაირად შეიძლება დახასიათდეს: წინააღმდეგობრივი თეორია, ე.ი. თეორია, რომელშიც მიიღება (მტკიცდება) როგორც რაიმე A დებულება, ისე მისი უარყოფა A, თუკი ის ეყრდნობა კლასიკურ ლოგიკას, იმავდროულად არის ტრივიალურიც_მასში მტკიცდება ამ თეორიის ენის ნებისმიერი B დებულება; თეორიის ტრივიალიზაციას ზოგჯერ მის აფეთქებას უწოდებენ. ზოგიერთი ლოგიკოსის
აზრით, ეს ეწინააღმდეგება როგორც ყოფითი, ისე სამეცნიერო აზროვნების პრაქტიკას; მართლაც, თუ დისკუსიის
მონაწილე “დავიჭირეთ” წინააღმდეგობაში, ჩვენ აქედან არ ვასკვნით (ყოველ შემთხვევაში, ყოველთვის), რომ მისთვის ყველაფერი ჭეშმარიტია, ან თუკი სიფრთხილის გარკვეულ ზომებს ვიცავთ, ხშირად წარმატებით ვსარგებლობთ წინააღმდეგობრივი თეორიით; ამის მაგალითია გულუბრყვილო სიმრავლეთა თეორია. ეს იმას ნიშნავს, რომ ასეთ ვითარებებში ვეყრდნობით არა კლასიკურ ლოგიკას, არამედ ლოგიკას, რომელშიც წინააღმდეგობის არსებობა არ იწვევს აფეთქებას. სწორედ ასეთი ლოგიკების ძიება და კვლევა ხდება აქტუალური 70-იანი წლებიდან. ამ მიმართებით კვლევის შედეგებია წარმოდგენილი გ.ჰ.ფონ ვრიგთის ჭეშმარიტების ლოგიკისა და, აგრეთვე, პარათავსებადი ლოგიკის სისიტემებში. ვრიგთის ამ ლოგიკაში ჭეშმარიტება და მცდარობა არ ამოწურავს დებულების კოგნიციური მდგომარეობის ყველა შესაძლებლობას, ე.ი. მასში ჭეშმარიტებათა ამ მნიშვნელობებისთვის არ სრულდება გამორიცხული მესამის პრინციპი, თუმცა, ისინი_ეს მნიშვნელობები ერთმანეთს გამორიცხავენ. პრობლემის გადაჭრის სხვა გზაა არჩეული პარათავსებად ლოგიკაში. ასეთი ლოგიკის მიზანია ე.წ. დუნს სკოტის პრინციპის ბლოკირება: ლოგიკა არის პარათავსებადი, თუკი მასში არ არის მართებული დუნს სკოტის პრინციპი_წინააღმდეგობიდან ყველაფერი გამომდინარეობს
A, A╞ B
ამ ლოგიკური სისტემებიდან ჩვენ განვიხილავთ ორს: ვრიგთის თL და პრისტის LP სამფასა ლოგიკის სისტემებს, ძირითადად, მათ პროპოზიციულ ფრაგმენტებს.
მრავალფასა ლოგიკაში ერთ-ერთი უმთავრესი პრობლემაა არაკლასიკური ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობების არა მხოლოდ პოსტულირება, არამედ, აგრეთვე ინტერპრეტირება, მათი გაგება. ამ თვალსაზრისით თL და LP სისტემებს შევადარებთ ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკის სისტემას_L₃.
ჩვენი მიზანია, აგრეთვე, “მოვსინჯოთ” სამფასა ლოგიკის განსახილველი პროპოზიციული სისტემების საპრედიკატო და მოდალური გაფართოებები იგივეობით, რათა მივიღოთ ინფორმაცია მათში იგივეობის პარადოქსის გადაჭრის შესაძლებლობის შესახებ; ამ პარადოქსის თანახმად, არ არსებობს შემთხვევითი იგივეობა: თუ ა და ბ ობიექტები ერთმანეთის იგივეობრივია, მაშინ ისინი აუცილებლობით არის იგივებრივი, ანუ
ა=ბ→□(ა=ბ)
ეს პარადოქსი მტკიცდება (ეს აჩვენა ქუაინმა) იგივეობიანი პირველი საფეხურის პრედიკატების ლოგიკის ნებისმიერ სტანდარტულ მოდალურ გაფართოებაში.
* * *
ი.ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკა. სამფასა ლოგიკური სისტემის შექმნის პირველი პრეცენდენტი ეკუთვნის ლვოვი-ვარშავის სკოლის თვალსაჩინო წარმომადგენელს ი.ლუკასევიჩს. ამ ლოგიკის შექმნისას ლუკასევიჩის ძირითადი ინტერესის საგანი იყო მოდალობები . ის ფიქრობდა, რომ მოდალური სისტემა ვერ ეტევა კლასიკური ლოგიკის ჩარჩოებში. ლუკასევიჩი დაწვრილებით განიხილავს შესაძლებლობის მოდალური ოპერატორის თვისებებს და ძალზე ნათლად უჩვენებს, რომ ეს ოპერატორი არ ემთხვევა კლასიკური ლოგიკის არც ერთ ერთადგილიან ოპერატორს . აქედან გამომდინარე, ლუკასევიჩი აკეთებს დასკვნას, რომ მოდალური ლოგიკის დასაფუძნებლად აუცილებელია გავიდეთ კლასიკური ლოგიკიდან და ჭეშმარიტება-მცდარობისგან განსხვავებული მესამე მნიშვნელობა_გაურკვევლობა (ნეიტრალობა, შესაძლებლობა) შემოვიტანოთ, რომლითაც ლუკასევიჩი არისტოტელეს კვალად მომავლის ერთული ხდომილებების შესახებ დებულებებს ახასიათებდა.
ბაზისურ ტერმინებად სამფასა ლოგიკაში ლუკასევიჩი იღებს უარყოფასა და იმპლიკაციას, რომელთაც განსაზღვრავს შემდეგი ცხრილით:
→ 0 1/2 1
0
1/2
1 1 1 1
1/2 1 1
0 1/2 1 1
1/2
0
სადაც 1 ნიშნავს ჭეშმარიტს, 0_მცდარს, 1/2_გაურკვეველს.
გამოყოფილი მნიშვნელობა ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკაში არის 1.
მან შემოიღო განსაზღვრებით შესაძლებლობის მოდალური ოპერატორი, ოღონდ პროპოზიციული კვანტორების გამოყენებით: “შესაძლებელია, რომ P” ანუ
MპDF (პპ)(ქ)(პ→ქქ)
ამრიგად, Mპ ნიშნავს, რომ დებულება პ ტოლფასია თავისივე თავის უარყოფის ან არ არსებობს წყვილი ისეთი ერთმანეთის საწინააღმდეგო დებულებებისა, რომელთა კონიუნქცია გამომდინარეობს პ-დან.
შესაძლებლობის ცხრილი ასეთია:
პ 0 1/2 1
Mპ 0 1 1/2
ეს განსაზღვრება ეკუთვნის კვანტორებით გაფართოებულ წინადადებათა ლოგიკას და შინაარსობლივად საკმაოდ ბუნდოვანია. ეს თავად ლუკასევიჩმაც შეამჩნია და ამიტომაც იყო, რომ მოგვიანებით იგი ჩაანაცვლა ა.ტარსკის განსაზღვრებით:
MპDF პ→პ
პ 0 1/2 1
Mპ 0 1 1
ლუკასევიჩის აზრით, ეს განსაზღვრება ბევრად უფრო შეესაბამება ინტუიციას და პასუხობს სამფასა ლოგიკის ყველა მოთხოვნას .
შესაძლებლობის პირველი ცნების მეორე თავისებურება ისაა, რომ იგი შეუძლებელია განისაზღვროს ლუკასევიჩის სამფასა წმინდა პროპოზიციულ (ე.ი. უკვანტორო) ლოგიკაში, ანუ შეუძლებელია იმპლიკაციითა და უარყოფით აიგოს ერთცვლადიანი ფორმულა F(პ), რომლის ცხრილიც დაემთხვევა ზემოთ მითითებულს. მართლაც, ძალიან იოლი დასამტკიცებელია, რომ ნებისმიერი ასეთი ფორმულა, პ ცვლადის მნიშვნელობებისთვის მიიღებს ან მნიშვნელობას 0-ს, ან მნიშვნელობას 1-ს, მაგრამ არა ½1/2-ს.
ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკა მის მიერ გადმოცემული იყო სემანტიკური ცხრილების მეთოდით. მისი აქსიომატიზაცია მოახდინა მ.ვაისბერგმა. ე.სლუპეცკიმ უჩვენა, რომ ლუკასევიჩის მიერ სემანტიკური ცხრილების მეთოდით ჩამოყალიბებული სამფასა ლოგიკა არ არის ფუნქციურად სრული . ეს იმას ნიშნავს, რომ მასში არ განისაზღვრება ერთ და ორადგილიანი ყველა სამფასა ფუნქცია. კერძოდ, ე.წ. სლუპეცკის ფუნქცია თ
პ 0 1/2 1
თპ 1/2 1/2 1/2
შეუძლებელია განისაზღვროს ლუკასევიჩის ლიგიკაში. ამისათვის სლუპეცკიმ ამ სისტემას დაუმატა ეს ფუნქცია და აქსიომებიც შეავსო, რის შემდეგაც ეს სისტემა გახდა სრული. იმავე სლუპეცკიმ ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკაში ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობების პირველი ფრიად დამაჯერებელი ინტუიციური ინტერპრეტაცია მოგვცა .
მიუხედავად იმისა, რომ ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკა თავად ლუკასევიჩმა დაიწუნა როგორც მოდალობათა შესახებ ჩვენი ინტუიციური წარმოდგენების არადამაკმაყოფილებელი სისტემა, მაინც, ამ ლოგიკის შექმნას უდიდესი მნიშვნელობა ჰქონდა, რადგან ეს იყო მრავალფასა ლოგიკის პირველი სისტემა.
ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკის სლუპეცკისეული ინტერპრეტაცია. სამფასა და, საერთოდ, მრავალფასა ლოგიკის შექმნა არ იყო მხოლოდ კლასკური ლოგიკის ფუნდამენტური ლოგიკური პრინციპების (გამორიცხული მესამის კანონის, წინააღმდეგობის კანონის, ორმაგი უარყოფის კანონის და ა.შ.) უკუგდების შედეგი. ამგვარი სისტემების შექმნით იცვლება ან აუცილებელი ხდება შეიცვალოს ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობების გაგება ანუ შეიცვალოს ლოგიკის კლასიკური ვერსიის გნოსეოლოგიური კონცეფცია. კლასიკური ლოგიკა ეყრდნობა ორი ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობის_ჭეშმარიტის და მცდარის_ ურთიერთგამომრიცხაობისა და ურთიერთამომწურავობის გნოსეოლოგიურ თვალსაზრისს. ამავე დროს, კლასიკურ ლოგიკაში ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობის გაგება ემყარება კორესპონდენციის ანუ შესაბამისობის ზოგადფილოსოფიურ კონცეფციას, რომელიც გულისხმობს ორი ინსტანციის_ აზროვნების საგნისა და ამ საგნის შესახებ აზრის ურთიერთდამოკიდებულებას.
აზრი ფიქსირდება მის გამომთქმელ წინადადებაში. წინადადება ჭეშმარიტია, თუ მაში ფიქსირებული აზრი შეესაბამება იმ საგნობრივ ვითარებას, მოცემულობას, რომლის შესახებაც ჩამოყალიბდა ეს აზრი.
წინადადება მცდარია, თუ მასში ფიქსირებული აზრი არ შეესაბამება იმ საგნობრივ ვითარებას, მოცემულობას, რომლის შესახებაც ჩამოყალიბდა ეს აზრი. შესაბამისობა, თუკი ის ზუსტად განისაზღვრება, უნდა ხასითდებოდეს ამ ორი და მხოლოდ ამ ორი მდგომარეობით. მესამე მნიშვნელობის გაჩენა კი სრულიად ცვლის არსებულ სურათს. ამიტომაც აუცილებელია მისი ფილოსოფიური საფუძვლის გააზრება, მისი ფილოსოფიური დაფუძნება.
ლუკასევიჩთან კლასიკურისგან განსხვავებული მესამე ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობის ფილოსოფიური გააზრება საკმაოდ ნათლად ხდება. მას თავის შრომებში ამ მნიშვნელობის დაფუძნებისთვის მყარი ფილოსოფიური არგუმენტები მოაქვს. თუმცა, როგორც ა.კარპენკო უჩვენებს სხვადსხვა ლოგიკოსთა იტერპრეტაციების მაგალითზე, კითხვის ნიშნის ქვეშ დადგა ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკური სისტემის (L₃) ფორმალური თვისებები რამდენად ადექვატურად გამოხატავდა მის ფილოსოფიურ პოზიციას. ამ მხრივ კარპენკოს მრავალი ლოგიკოსის საკმაოდ კრიტიკული და თანაც სამართლიანი შენიშვნა აქვს მოტანილი (განსაკუთრებით კრიტიკა ეხება სამფასა →, , და შესაძლებლობის ოპერატორის ფორმალურ თვისებებს) და, როგორც თავად აღნიშნავს, ეს პროცესი დღემდე გრძელდება. თუმცა, უკვე არსებულ ინტერპრეტაციებს შორის, ჩვენის აზრით, ლუკასევიჩის ფილოსოფიურ პოზიციასთან ყველაზე ახლოს მდგომი არის ე.სლუპეცკის ინტუიციური ინტერპრეტაცია . ამ ინტერპრეტაციაში ყველაზე მეტად არის გათვალისწინებული ლუკასევიჩის ფილოსოფიური არგუმენტები, რასაც, ალბათ, ის ფაქტი განაპირობებს, რომ, როგორც თავად სლუპეცკი აღნიშნავს, იგი ძირითადად ეყრდნობა ლუკასევიჩის ორ უმნიშვნელოვანეს ნაშრომს: “ფილოსოფიური შენიშვნები წინადადებათა აღრიცხვის მრავალფასა სისტემების შესახებ” და “დეტერმინიზმის შესახებ”. პირველ მათგანში ლუკასევიჩი აყალიბებს სამფასა მოდალურ სისტემას, ხოლო მეორეში_განიხილავს სამფასა ლოგიკის მნიშვნელობას დეტერმინიზმის პრობლემისათვის. სლუპეცკის განსაკუთრებულ ინტერესს სწორედ მეორე ნაშრომი იმსახურებს.
ლუკასევიჩის მიხედვით, დეტერმინიზმის გასამყარებლად არსებობს ორი ძირითადი არგუმენტი: მიზეზობრიობის პრინციპი და გამორიცხული მესამის კანონი.
მიზეზობრიობის პრინციპი ლუკასევიჩს ესმის როგორც დებულება, რომელიც ამტკიცებს, რომ ყოველი ფაქტისთვის არსებობს მისი წინმსწრები მიზეზი, რომლის შედეგადაც უნდა დადგეს ეს ფაქტი. ამ პრინციპს ლუკასევიჩი არ უარყოფს, მაგრამ მიიჩნევს, რომ დროის ყოველ მომენტში არ არსებობს მიზეზი ყოველი მომავალი ფაქტისთვის. ეს იმას ნიშნავს, რომ ყოველი მომავალი ფაქტისთვის მართალია არსებობს ფაქტების უსასრულო მიმდევრობა, რომლებიც ერთმანეთთან მიზეზობრივი კავშირით არიან დაკავშირებულნი, შეიძლება მოხდეს ისე, რომ ამ მიზეზობრივი ფაქტების უსასრულო ჯაჭვი უსასრულოდ მიუახლოვდეს აწმყო დროს, მაგრამ ვერასოდეს მიაღწიოს აწმყომდე. ლუკასევიჩს ეჭვი არ ეპარება ისეთი მომავალი ფაქტების არსებობაში, რომელთა მიზეზები უკვე აწმყოშია ან წარსულში (მაგ., მზის და მთვარის დაბნელება) და მათი წინასწარმეტყველება ძალიან ადვილია სწორედ ამ მიზეზობრივი ჯაჭვის მეშვეობით: “. . .მაგრამ ვერავინ შესძლებს იწინასწარმეტყველოს ფაქტი, რომ რომელიღაც ბუზი, რომელიც დღეს შეიძლება საერთოდ არ არსებობს, ყურთან გამიფრენს მომავალი წლის 7 სექტემბერს, ხოლო მტკიცება იმისა, რომ ამ მომავალი ბუზის მომავალი მოქმედების მიზეზი უკვე დღეს არსებობს ან წარსულში არსებობდა, უფრო ფანტაზიის სფეროა, ვიდრე მეცნიერული მტკიცება”. აღსანიშნავია, რომ ლუკასევიჩს ანალოგიური დამოკიდებულება აქვს წარსულთან და ამ მომენტს იგი საკმაოდ მოხერხებულად იყენებს პრაქტიკული მიზნებისთვის: “წარსულთანაც ისეთი დამიკიდებულება უნდა ვიქონიოთ, როგორც მომავალთან. თუ მომავლიდან დღეს რეალურად გვევლინება მხოლოდ ის, რასაც უკვე დღეს გააჩნია მიზეზი, ხოლო რიგი მიზეზებისა, რომელნიც იწყებიან მომავალში, დღეს მიეკუთვნებიან მხოლოდ შესაძლებლობის სფეროს, მაშინ წარსულიდან დღეს რეალურია მხოლოდ ის, რაც ჯერ კიდევ მოქმედებს თავისი შედეგების სახით.
ფაქტები, რომელთაც თავიანთ შედეგებში სრულიად ამოწურული აქვთ თავი და რომელთა არსებობის შესახებ დასკვნას თვით ყოვლისმცოდნე გონებაც ვეღარ გააკეთებს, მიეკუთვნებიან ასევე შესაძლებლობის სფეროს. ასეთ ფაქტებზე აღარ შეიძლება თქმა იმისა, რომ მათ ჰქონდათ ადგილი, არამედ, შეიძლება მხოლოდ იმის თქმა, რომ ისინი შესაძლებელი იყო. და ეს რომ ასეა, ძალიანაც კარგია. ყველა ჩვენთაგანის ცხოვრებაში არის ხოლმე მძიმე მწუხარების წუთები ისევე, როგორც წუთები სინდისის ქენჯნისა, დანაშაულის განცდისა. ჩვენ მოხარულნი ვიქნებოდით, რომ ეს ყველაფერი წაგვეშალა არა მარტო ჩვენი მეხსიერებიდან, არამედ სინამდვილიდანაც” .
ზუსტად ასევე, ლუკასევიჩის აზრით, გამორიცხული მესამის კანონი არ არის არგუმენტი დეტერმინიზმის მისაღებად. ეს გამომდინარეობს სამფასა ლოგიკის არსებობის ფაქტიდან. მასში გამორიცხული მესამის კანონი არ არის შენარჩუნებული და, ამავე დროს, იგი არაწინააღმდეგობრივი და თანამიმდევრულია.
თავისი ინტერპრეტაციის ჩამოსაყალიბებლად სლუპეცკი, პირველ რიგში, განსაზღვრავს თუ რას ნიშნავს “წინადადება არის ჭეშმარიტი”, “წინადადება არის მცდარი” და “წინადადება არის შესაძლებელი”. სლუპეცკი ერთმანეთისგან განასხვავებს ფაქტების სამ სიმრავლეს: ღ₁ არის ყველა იმ ფაქტის სიმრავლე, რომელსაც ადგილი აქვს აწმყო დროში ან რომლისთვისაც მიზეზები არსებობს აწმყო დროში ან რომლისთვისაც შედეგები არსებობს აწმყო დროში. ღ₀ არის ყველა იმ ფაქტის სიმრავლე, რომლებიც წარმოადგენენ ღ₁-ში შემავალი ფაქტების საწინააღმდეგო ფაქტებს. და ბოლოს, ღ⅟₂ არის ყველა დანარჩენი ფაქტის სიმრავლე ანუ ამ სიმრავლის ელემენტია ყველა ისეთი ფაქტი, რომლებსაც არც თვითონ, არც მის საწინააღმდეგო ფაქტს არ აქვს რეალური შესაბამისი ელემენტები აწმყო დროის ფაქტებს შორის ე.ი. ღ⅟₂-ში შედის ისეთი ფაქტები, რომ არც მათთვის და არც მათი საწინააღმდეგო ფაქტებისთვის არ არსებობს არც მიზეზები და არც შედეგები აწმყო დროში.
განსაზღვრება იმისა, თუ როდის არის წინადადება ჭეშმარიტი, მცდარი ან შესაძლებელი, შეიძლება მხოლოდ წინადადებისთვის, რომელიც აღწერს ფაქტს.
წინადადება არის ჭეშმარიტი, მცდარი ან შესაძლებელი, თუკი ის აღწერს ფაქტს, რომელიც ეკუთვნის შესაბამისად ღ₁, ღ₀ და ღ⅟₂ სიმრავლეს. ეს იმას ნიშნავს, რომ წინადადება არის ჭეშმარიტი, თუკი ის აღწერს ფაქტს, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისება: ფაქტს აქვს ადგილი აწმყო დროში ან ამავე დროს ამ ფაქტისთვის არსებობს მიზეზი ან შედეგი. წინადადება არის მცდარი, თუკი ის აღწერს ფაქტს, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობას: მისი საწინააღმდეგო ფაქტი ფლობს ზემოთ აღნიშნულ თვისებას. და ბოლოს, წინადადება არის შესაძლებელი, თუკი ის აღწერს ფაქტს, რომელსაც არც თვითონ და არც მის საწინააღმდეგო ფაქტს არ აქვს ეს თვისება.
ამ კონცეფციის ნაწილია, აგრეთვე, კონიუნქციური, დისიუნქციური და ა.შ. წინადადებების გაგება შემდეგნაირად: ორი წინადადების დისიუნქცია აღწერს იმ ფაქტების ჯამს, რომლებიც აღიწერება დისიუნქტებით, კონიუნქცია კი ნამრავლს ამ ფაქტებისა; ასევე, თუ წინადადება აღწერს რაიმე ფაქტს, მაშინ ამ წინადადების უარყოფა აღწერს მის საწინააღმდეგო ფაქტს. ამავე დროს, ატომარული ფაქტები და კონიუნქციით, დისიუნქციით და ა.შ. ნაწარმოები რთული ფაქტები აკმაყოფილებენ ბულის ალგებრის კანონებს.
ამ წანამძღვრებიდან და სამფასა აღრიცხვის ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობების განსაზღვრებებიდან გამოდის:
კონიუნქციის, დისიუნქციის და უარყოფის ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობები ზუსტად შეესაბამება ლუკასევიჩის მიერ შემოთავაზებულ სამფასა ლოგიკის ცხრილს.
მიუხედავად ხარვეზებისა, რომელზეც სლუპეცკის კრიტიკოსები ამახვილებენ ყურადღებას, სლუპეცკის კონცეფცია გვთავაზობს იმ გნოსეოლოგიური კარკასის შედეგს, რომელსაც ითხოვს კლასიკური ლოგიკიდან ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკაზე გადასვლა.
* * *
გ.ჰ. ფონ ვრიგთის სამფასა ლოგიკური სისტემა. სამფასა ლოგიკური სისტემებიდან ერთ-ერთი, რომელიც ემსახურება წინააღმდეგობრივი თეორიების ლოგიკურ კანონებთან დაკავშირებული პრობლემის დაძლევას, არის გ.ჰ ფონ ვრიგთის ჭეშმარიტების ლოგიკა_თL . გარდა სამფასა ლოგიკისა, ვრიგთს იმავე სახელწოდების სხვა მრავალფასა ლოგიკებიც აქვს, რომლებიც იგივე პრობლემის გადაჭრის მიზნით შეიქმნა, მაგრამ მათ აქ არ განვიხილავთ.
ვრიგთის მიხედვით, კლასიკური ლოგიკის სამ ფუნდამენტურ პრინციპს წარმოადგენს გამორიცხული მესამის კანონი, წინააღმდეგობის კანონი და ორმაგი უარყოფის კანონი. ტრადიციულად მათი ფორმულირების რამდენიმე მეთოდი არსებობს, ერთ-ერთი მათგანი კი შემდეგია:
“ნებისმიერი დებულება ან ჭეშმარიტია ან მცდარი”_ გამორიცხული მესამის კანონისთვის; “არც ერთი დებულება არ არის ერთდროულად ჭეშმარიტიც და მცდარიც”_ წინააღმდეგობის კანონისთვის; და “დებულება ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც მცდარია რომ იგი მცდარია”_ ორმაგი უარყოფის კანონისთვის. პროპოზიციულ ლოგიკაში ეს კანონები ასე შეიძლება ჩაიწეროს:
პპ; (პპ); პ პ.
როგორც ვრიგთი აღნიშნავს, მიუხედავად სამივე ამ კანონის თითქმის საყოველთაოდ აღიარებული სტატუსისა, ზოგიერთი მოაზროვნე, ზოგიერთი მიმართულება ლოგიკაში მათ სადავოდ ხდის. ვრიგთისთვის განსაკუთრებული ინტერესის საგანი არის წინააღმდეგობის კანონი, რომელიც, მისი აზრით, ყველაზე უფრო გამძლე აღმოჩნდა კრიტიკისადმი, თუმცა, იგი შეიცავდა განსაკუთრებულ თავისებურებებს, რომლებიც მის მართებულობაში აეჭვებდა ზოგიერთ მოაზროვნეს.
ერთ-ერთ ასეთ თავისებურებად წინაღმდეგობის კანონისა ვრიგთი მიიჩნევს ე.წ. დუნს სკოტის პრინციპს, რომელიც როგორც გამომდინარეობის სემანტიკური და გამოყვანადობის სინტაქსური წესი ასეთ სახეს იღებს:
A, A ╞B და A, AIB
პრობლემა მდგომარეობს შემდეგში:
თუ დედუქციურ სისტემაში ზემოთ მოყვანილი ფორმულები მიიღება გამოყვანის ან გამომდინარეობის კანონებად და ამავე სისტემაში გამოყვანადია რაიმე დებულებაც და მისი უარყოფაც, მაშინ მოდუს პონენს-ის ძალით ამ სისტემიდან გამოყვანადი იქნება ნებისმიერი დებულება. ამიტომაც სისტემაში წინააღმდეგობის დამტკიცება აფეთქებს მას და გვაძლევს თეორიის ტრივიალიზაციას.
ვრიგთი ამ პრობლემის დაძლევის ისტორიულად ცნობილ ორ გზას ასახელებს: პირველი საფუძვლად დაედო ე.წ. რელევანტური ლოგიკის განვითრებას: იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ დუნს სკოტის პრინციპის კონტრინტუიციური შედეგები, უნდა შევზღუდოთ გამომდინერობის (და გამოყვანადობის) ცნებები ისე, რომ სრულდებოდეს შემდეგი პირობა: Γ წანამძღვრებიდან რომ გამომდინარეობდეს (გამოყვანადი იყოს) დანასკვი A, მათ, ე.ი. ერთის მხრივ, Γ წანამძღვრებს და, მეორეს მხრივ, A დანასკვს, რაღაც საერთო შინაარსი უნდა ჰქონდეს.
ამ პრობლემის გადაჭრის მეორე გზა მდგომარეობს დუნს სკოტის პრინციპის არ მიღებაში: თუ სისტემაში არ გადის (არ არის მართებული) დუნს სკოტის პრინციპი, როგორც გამომდინარეობის (გამოყვანადობის) წესი, მაშინ წინააღმდეგობის არსებობა სისტემაში ვეღარ გამოიწვევს მის აფეთქებას, ანუ ტრივიალიზაციას. ასეთი მიდგომა წინააღმდეგობისადმი საფუძვლად დაედო ფორმალური ლოგიკის თანამედროვე მიმდინარეობის_ პარათავსებადი ლოგიკის განვითარებას. ერთ-ერთი მოტივი, რამაც განსაზღვრა პარათავსებადი ლოგიკის მიმართებით კვლევა, იყო ჰეგელისა და საბჭოთა დიალექტიკური ლოგიკის ცნებებისა და პრინციპების გამოხატვა-ინტერპრეტაცია მათემატიკური ლოგიკის მეთოდებით.
ვრიგთი კი განსხვავებულ და ამბიციურ მიზანს ისახავს: კლასიკური ლოგიკიდან მინიმალური გადახრებით შექმნას ისეთი ლოგიკური სისტემა, რომელშიც მოცემული იქნება რეაგირება წინააღმდეგობისა და დუნს სკოტის პრინციპის ინტუიციის საწინააღმდეგო შედეგებზე და მათი თავიდან აცილების მაქსიმალურად ბუნებრივი მეთოდი.
ვრიგთის მიდგომის არსი ჭეშმარიტების ლოგიკაში მდგომარეობს იმაში, რომ ამ სისტემაში მცდარი დებულება არ არის ჭეშმარიტი, მაგრამ არა ყველა არაჭეშმარიტი დებულება არის ასევე მცდარი; ანუ ეს სისტემა გვაძლევს საშუალებას, რომ ზოგიერთი დებულება, რომელიც არ არის ჭეშმარიტი, არ მივიჩნიოთ ასევე მცდარად. ასეთი დებულებები არც ჭეშმარიტნი არიან, არც მცდარნი. ეს არის თL-ლოგიკის მესამე ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობა_არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი.
მაგრამ ნუთუ ყველა დებულება ჭეშმარიტია ან მცდარი განსაზღვრებით? ამ კითხვაზე პასუხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ გვესმის დებულება.
ვრიგთი ბაზისურ ცნებად იღებს გრამატიკულად წესიერად აგებული წინადადების ცნებას. ვრიგთის მიხედვით, გრამატიკულად წესიერად აგებული წინადადება გამოხატავს დებულებას, მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც წინადადება, რომელიც მიიღება მისგან სიტყვების “ჭეშმარიტია, რომ” დართვით, ასევე წესიერად აგებული იქნება. მაგალითად, წინადადება “წვიმა მოდის” არის წესიერად აგებული, “ჭეშმარიტია, რომ წვიმა მოდის” ასევე წესიერადაა აგებული. აქედან გამომდინარე, წინადადება “წვიმა მოდის” გამოხატავს დებულებას. “გააღე ფანჯარა!”_წესიერად აგებული წინადადებაა. “ჭეშმარიტია, რომ გააღე ფანჯარა!” არ არის წესიერად აგებული. აქედან გამომდინარე, წინადადება “გააღე ფანჯარა!” არ გამოხატავს დებულებას.
თუ მიიღება ასეთი განსაზღვრება, ადვილია ვიპოვოთ დებულების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება განვიხილოთ როგორც არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი. მაგალითად, “მარტივი რიცხვი არის მწვანე”. ეს წესიერად აგებული წინადადებაა. ასეთივეა წინადადება “ჭეშმარიტია, რომ მარტივი რიცხვი არის მწვანე”. შესაბამისად, ის გამოხატავს დებულებას. რომელი ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობით ხასითდება ის? ცხადია, რომ ცალსახად არც ჭეშმარიტებით, არც მცდარობით. ამ შემთხვევაში სუბიექტისა და პრედიკატის შედარება შეუძლებელია, რადგან ფერები, როგორც დახასიათებები არ მიეყენება რიცხვებს. ეს იმას ნიშნავს, რომ ასეთი დებულებები არც ჭეშმარიტია, არც მცდარი_ ანუ მათ მიეწერებათ მესამე ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობა.
ვრიგთის თL-ლოგიკაში საწყის ტერმინებად აღებულია უარყოფა, კონიუნქცია და ჭეშმარიტების ოპერატორი თ_”ჭეშმარიტია, რომ”, რომლებიც შემდეგნაირად განისაზღვრება:
& + − 0 თ
+
−
0 + − 0
− − −
0 − 0
−
+
0 +
−
−
სადაც + არის შემოკლება შეფასებისა “არის ჭეშმარიტი”, _ შეფასებისა “არის მცდარი”, 0 შეფასებისა “არ არის არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი”. იმპლიკაცია (→) და ტოლფასობა () განისაზღვრება სტანდარტულად, როგორც კლასიკურ ლოგიკაში.
თL სისტემა აქსიომატიზებულია. აქსიომებად აღებულია შემდეგი დებულებები:
A₀. PL-ის (კლასიკური ლოგიკის) ყველა ტავტოლოგია, თუკი მასში ცვლადის ყოველ შესვლას დართული აქვს თ ოპერატორი.
A₁. თპ→თპ _ თუ ჭეშმარიტია P, მაშინ არ არის ჭეშმარიტი, რომ არა-P.
A₂. თპთპ _ ჭეშმარიტია, რომ პ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც მცდარია, რომ არა-პ.
A₃. თ(პ&ქ)თპ&თქ _ კონიუნქცია ჭეშმარიტია მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყოველი კონიუნქტი ჭეშმარიტია.
A₄. თპ→პ _ თუ ჭეშმარიტია, რომ პ, მაშინ პ.
დასკვნის წესებია:
ღ1. აქსიომაში ან თეორემაში ცვლადის ნაცვლად ფორმულის ჩანაცვლების წესი.
ღ2. მოდუს პონენს (მოცილების წესი იმპლიკაციისთვის).
ღ3. ჭეშმარიტების წესი, რომლის თანახმადაც, თუ ფ ფორმულა არის თL ლოგიკის აქსიომა ან თეორემა, მაშინ თფ-იც არის თL ლოგიკის თეორემა.
გამოყოფილი მნიშვნელობა არის “არის ჭეშმარიტი” (+). თL-ტავტოლოგიის ცნება განისაზღვრება სტანდარტულად. თL-ში დამტკიცებადი ყველა ფორმულა არის თL-ტავტოლოგია ანუ ცხრილებში, ყველა განაწილებაში იღებენ მნიშვნელობას “ჭეშმარიტი” (თL-აღრიცხვის კორექტულობა) და ყველა ფორმულა, რომელიც არის თL-ტავტოლოგია, დამტკიცებადია თL-აღრიცხვაში (სემანტიკური სისრულე). მაშასადამე, თL-სისტემა ამოხსნადია და მისი სინტაქსური და სემანტიკური წარმოდგენა ერთმანეთს ემთხვევა. თუმცა, როგორც გ.ასანიძემ აჩვენა ვრიგთის თL-სისტემა (და არა მხოლოდ თL) არ არის სრული. მაგალითად, მასში არ არის დამტკიცებადი ისეთი თL-ტავტოლოგიები, როგორიცაა:
თპ→(ქ→თპ), პ→თპ, თთპთთპ→პ და სხვ.
ავტორი ამას აჩვენებს პირველი ფორმულის მაგალითზე და ამავე დროს, თL-სისტემაზე გარკვეული წესების დამატებით ახდენს მისი სისრულის ჩვენებას.
თL ლოგიკას ახასიათებს ერთი თავისებურება: დებულებათა კლასიკური ლოგიკის არც ერთი კლასიკური ტავტოლოგია არ არის თL-ტავტოლოგია. ეს იმით აიხსნება, რომ ტავტოლოგიური სქემის პპ მქონე დებულებები ასეთებად გვევლინებიან იმ პირობით, თუ მისი ატომარული კომპონენტები აღნიშნავენ დებულებებს, რომლებიც გამოხატავენ ჭეშმარიტ ან მცდარ დებულებებს. მაგრამ თუ პ არც ჭეშმარიტია და არც მცდარი, მაშინ ასეთივე იქნება პპ-ც. მაგრამ ამ ახალ სემანტიკურ ვითარებაში ადგილი აქვს უფრო ბუნებრივ მდგომარეობას. თუ განვახორციელებთ გარკვეულ ჩანაცვლებას, კერძოდ, თუ ყოველ ცვლადს კლასიკურ ტავტოლოგიაში უშუალოდ წინ დავუწერთ თ-ს, მიღებული ფორმულა იქნება თL-ტავტოლოგია. ამ ვითარების ძალით გამორიცხული მესამის კანონი თL-ში გვაქვს შემდეგი ფორმით თპთპ _ ეს ნიშნავს, რომ ყოველი დებულება ან ჭეშმარიტია ან არაჭეშმარიტი. იგი უნდა განვასხვავოთ ფორმულისგან _თპთპ _ყოველი წინადადება ან ჭეშმარიტია ან მცდარი. ეს არის ორფასობის კანონი და მას არა აქვს ადგილი თL-ში. კერძოდ, როცა პ0 აღნიშნული ფორმულა იღებს მნიშვნელობას (მცდარი) . ვრიგთი ამ ფაქტს იყენებს საკუთარი მიზნისთვის ანუ წინააღმდეგობის შესანარჩუნებლად. გარკვეული ფორმულების ეკვივალენტურობის საფუძველზე ვრიგთი უჩვენებს, რომ თL-ში, მართალია არც ერთი დებულება არ არის ერთდროულად ჭეშმარიტიც და მცდარიც და არც ერთი წინააღმდეგობა არ არის ჭეშმარიტი, მაგრამ აქედან არ გამომდინარეობს, რომ ის (წინააღმდეგობა) ყოველთვის მცდარია. კერძოდ, თL-ში არ არის თეორემა ფორმულა თ(პპ), სახელდობრ, როცა პ იღებს მნიშვნელობას “არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი”, მთელი ფორმულა არის მცდარი. ეს ნიშნავს, რომ წინააღმდეგობა თL-ში შენარჩუნებულია როგორც არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი და თან არ ხდება ამ სისტემის ტრივიალიზაცია.
უნდა აღინიშნოს ასევე, რომ ვრიგთის სამფასა ლოგიკა არის ლუკასევიჩის სამფასა ლოგიკის ქველოგიკა. ეს ნიშნავს, რომ ყველაფერი, რაც გამოყვანადია თL-ში, გამოყვანადია ასევე ლუკასევიჩის სამფასა სისტემაშიც (L₃). ეს ხდება იმიტომ, რომ ვრიგთის თL სისტემის თ ფუნქცია განსაზღვრებადია ლუკასევიჩის სისტემაში შენდეგი ფორმულით: (პ→პ).
პ=1 (1→1)=(1→0)=0=1
პ=0 (0→0)=(0→1)=1=0
პ=1/2 (1/2→1/2)=(1/2→1/2)=1=0
როგორც ვხედავთ, იგი ემთხვევა თL-ლოგიკის თ ფუნქციის ცხრილს:
პ + 0
თპ +
ვრიგთის სამფასა ლოგიკის ფილოსოფიური საფუძველი. ვრიგთი თავის თL-სისტემის აგებისას, მართალია დაწვრილებით არ განიხილავს ამ საკითხს, მაგრამ ამ სისტემაში არის ადგილი, სადაც შეიძლება ამოვიკითხოთ პასუხი კითხვაზე_რას ნიშნავს მესამე ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობა და რა ტიპის დებულებები ხასიათდება ამ მნიშვნელობით?
მესამე მნიშვნელობით ხასითდება ის დებულებები, რომლებიც, ჯერ ერთი, წესიერადაა აგებული (ე.ი. არ არღვევს სინტაქსის წესებს) და მეორეც, ისინი იმყოფებიან ჭეშმარიტება-მცდარობის მიღმა. ვრიგთს მოაქვს ასეთი დებულებების რამდენიმე მაგალითი: “მარტივი რიცხვი მწვანეა”_როცა სუბიექტი და პრედიკატი ერთმანეთის შესაფერისები არ არიან; დებულებები, რომლებიც შეიცავენ უდენოტატო სახელებს; აგრეთვე, მრავალრიცხოვანი ე.წ. “მეტაფიზიკური” დებულებები_ისეთი, როგორიცაა მაგ., “პირველადი რეალობა იყო მატერია” და ა.შ. ასევე ნორმები, მითითებები და ა.შ.
მოკლედ, ვრიგთის აზრით, მსგავსი ტიპის დებულებები მრავლად არსებობს ენაში. მათზე სიტყვების “ჭეშმარიტია, რომ” დართვით მიიღება კორექტული, წესიერად აგებული წინადადებები, რომლებიც გამოხატავენ დებულებებს. ასეთ დებულებებს კი ვრიგთის სიტემაში აუცილებლად მოეძებნება ადგილი და მიეწერება ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობა_ “არც ჭეშმარიტი, არც მცდარი”.
* * *
ამ სტატიაში არ შევეხებით პარათავსებადი ლოგიკის ისტორიას, მის და, განსაკუთრებით დიალეთეიზმის დამოკიდებულებას დიალექტიკურ ლოგიკასთან, პარათავსებადი ლოგიკის შექმნის მოტივებს; ნაწილობრივ ამ საკითხებზე საუბარია წინამდებარე კრებულის სხვა სტატიაში . ჩვენი ინტერესის საგანია პარათავსებადი ლოგიკის ერთ-ერთი უმარტივესი სისტემის_გ.პრისტის “პარადოქსის ლოგიკის” (LP-ს) პროპოზიციული და საპრედიკატო ფენების, აგრეთვე, ამ უკანასკნელის იგივეობის პრედიკატით გაფართოების აღწერა ზემოთ, შესავალში დასმული საკითხების გარკვევისათვის, სახელდობრ, საკითხებისა თუ როგორ არის გაგებული პრისტის (და ზოგიერთი მისი მიმდევრის) მიერ ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობები LP-ში და როგორ ხასითდება სემანტიკურად იგივეობის მიმართება ამ ლოგიკაში .
სამფასა პროპოზიციული ლოგიკა LP. ფორმულის ცნება ისეთივეა, როგორც კლასიკურ პროპოზიციულ ლოგიკაში; კერძოდ, პრისტისთვის საწყისი ლოგიკური ცნებებია უარყოფა, კონიუნქცია და (არაგამომრიცხავი) დისიუნქცია (მატერიალური იმპლიკაცია განისაზღვრება კლასიკური ნიმუშის მიხედვით A→B=AB).
სემანტიკა, ჭეშმარიტებითი და გამორჩეული ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობების სიმრავლეები. LP-ლოგიკაში დებულების ყველა შესაძლო შეფასება, ანუ ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობებია 1, 0, 0,1. “1” არის შემოკლება სიტყვისა “ჭეშმარიტი”, “0”_სიტყვისა “მცდარი”, ხოლო თვითონ მნიშვნელობები გააზრებულია როგორც შემდეგნაირი შეფასებები:
1 არის ჭეშმარიტი (და მხოლოდ ჭეშმარიტი),
0 არის მცდარი (და მხოლოდ მცდარი),
0,1 არის მცდარი და არის ჭეშმარიტი.
პრისტი გვთავაზობს გარკვეულ, ინტუიციური თვალსაზრისით უფრო მოხერხებულ დაჯგუფებას და წაკითხვას; ვთქვათ, დ ნებისმიერი ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობაა, მაშინ
თუ 0დ, ე.ი. თუ დ არის 0 ან 0,1, დ შეიძლება წავიკითხოთ როგორც “სულ მცირე მცდარია”.
თუ 1დ, ე.ი. თუ დ არის 1 ან 0,1, დ შეიძლება წავიკითხოთ როგორც “სულ მცირე ჭეშმარიტი”.
გამორჩეული (გამოყოფილი) მნიშვნელობებია 1 და 0,1.
პროპოზიციული ენის LP-ინტერპრეტაცია (LP-შეფასება) ფ არის ფუნქცია, რომელიც სადებულებო ცვლადებს ნებისმიერად მიაწერს ჭეშმარიტებით მნიშვნელობებს სიმრავლიდან 0, 1, 0,1 და ამ მიწერას განავრცობს დანარჩენ ფორმულებზე (დებულებებზე) შემდეგი წესების მიხედვით:
1ა. 1ფ(A) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 0ფ(A);
1ბ. 0ფ(A) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 1ფ(A);
2ა. 1ფ(AB) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 1ფ(A) და 1ფ(B);
2ბ. 0ფ(AB) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 0ფ(A) ან 0ფ(B);
3ა. 1ფ(AB) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 1ფ(A) ან 1ფ(B);
3ბ. 0ფ(AB) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც 0ფ(A) და 0ფ(B).
LP-ტავტოლოგიის ცნება განისაზღვრება სტანდარტულად: ფორმულა A არის LP-ტავტოლოგია (╞LპA) მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც A იღებს გამორჩეულ მნიშვნელობას ყველა LP-შეფასებაში ანუ 1ფ(A), სადაც ფ არის ნებისმიერი LP-შეფასება.
თუ ჭეშმარიტებითი და გამორჩეული ჭეშმარიტებითი მნიშვნელობებიდან გამოვტოვებთ მნიშვნელობას 0,1 და შესატყვის ცვლილებებს შევიტანთ LP-შეფასებისა და LP-ტავტოლოგიის ცნებების განსაზღვრებაში, მივიღებთ პროპოზიციული ენის ჩვეულებრივ კლასიკურ სემანტიკას, რადგან მნიშვნელობებისთვის 0 და 1 (ვუწოდოთ მათ კლასიკური მნიშვნელობები) პრისტის ოპერატორები ემთხვევა მათ კლასიკურ პროტოტიპებს. გამოდის, რომ პროპოზიციული ენის ყოველი კლასიკური ინტერპრეტაცია არის ამავე დროს LP-ინტერპრეტაცია და, მაშასადამე, ყოველი LP-ტავტოლოგია არის ამავე დროს კლასიკური ტავტოლოგია. შებრუნებული დებულების_ ყოველი კლასიკური ტავტოლოგია არის ამავე დროს LP-ტავტოლოგია_ დამტკიცება არ არის ძნელი. (ეს ორი დებულება პრისტთან აღნიშნულია, როგორც ფაქტი¹) . ოღონდ მანამდე ვუჩვენოთ, რომ ხორციელდება შემდეგი ვითარება: ვთქვათ, ფ არის LP-შეფასება და გ მიიღება ფ-დან მისი შემდეგი გარდაქმნით: თუ ფ-ის მიხედვით ცვლადის მნიშვნელობაა 0,1, გ-ში ის შეცვლილია მნიშვნელობით 1 (სხვა მნიშვნელობები ფ-დან უცვლელად გადმოდის გ-ში) და განხორციელებულია შესატყვისი ცვლილებები რთული ფორმულების შეფასებაში 1ა-3ბ წესების მიხედვით. მაშინ, ჯერ-ერთი, გ არის LP-შეფასება (და ამავე დროს კლასიკური ინტერპრეტაცია პროპოზიციული ენის) და მეორეც, პროპოზიციული ენის ნებისმიერი A ფორმულისთვის
() თუ 1გ(A), მაშინ 1ფ(A) და თუ 0გ(A), მაშინ 0ფ(A)
დავამტკიცოთ ეს დებულება A ფორმულის სიგრძის მიხედვით ინდუქციით:
ბაზისი: დავუშვათ, რომ A არის ცვლადი და ვთქვათ, რომ 1გ(A), მაშინ გ(A) არის 1, ხოლო აგების თანახმად, ფ(A) იქნება 1 ან 0,1 და ამიტომ 1ფ(A). ახლა დავუშვათ, რომ 0გ(A); მაშინ გ(A) არის 0, ხოლო აგების თანახმად ფ(A)-ც არის 0 და, მაშასადამე, 0ფ(A). ამრიგად, ცვლადებისთვის დებულება () მართალია. ინდუქციური ნაბიჯის დასამტკიცებლად დავუშვათ, რომ A ფორმულის სიგრძეა ნ+1 (ნ0), ხოლო მასზე ნაკლები სიგრძის ფორმულებისთვის დებულება () მართალია (საინდუქციო ვარაუდი). მაშინ რომელიღაც B და ჩ ფორმულებისთვის A არის
(I) B, ან (II) Bჩ, ან (III) Bჩ
განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა:
(I) დავუშვათ, რომ 1გ(B);
მაშინ 0გ(B) –1ა წესის ძალით
ხოლო მაშინ 0ფ(B)_საინდუქციო ვარაუდის თანახმად
და 1ფ(B)—ისევ 1ა წესის თანახმად.
ახლა დავუშვათ, რომ 0გ(B), ზუსტად იმავე მსჯელობით, ოღონდაც უკვე 1ბ წესის გამოყანებით მივიღებთ, რომ 0ფ(B).
ანალოგიურად განიხილება (II) და (III) შემთხვევები, ოღონდაც მათთვის (გარდა საინდუქციო ვარაუდისა) უკვე ვიყენებთ 2ა, 2ბ, 3ა და 3ბ წესებს. დებულება () დამტკიცებულია.
ფაქტი¹-ის მეორე ნაწილის დასამტკიცებლად დავუშვათ, რომ რომელიღაც A ფორმულა არ არის LP-ტავტოლოგია, ეს ნიშნავს ისეთი ინტერპრეტაციის (LP-შეფასების) ფ-ის არსებობას, რომ 1ფ(A). ვაწარმოოთ ფ-გან ახალი ინტერპრეტაცია გ (როგორც ეს გავაკეთეთ ზემოთ () დებულების დამტკიცებისას). () დებულების პირველი ნაწილის მიხედვით გვექნება 1გ(A), ანუ გ(A)=0, რადგან გ არ შეიცავს 0,1 სახის მნიშვნელობებს. ამავე დროს, გ არის კლასიკური ინერპრეტაცია და, მაშასადამე, A არ არის კლასიკური ტავტოლოგია.
გამოდის, რომ კლასიკური და LP-ტავტოლოგიების კლასები ერთმანეთს ემთხვევა. მაშინ რა არის LP ლოგიკის სპეციფიკა? რაში ვლინდება მისი პარათავსებადი ხასიათი? კლასიკური ლოგიკისგან მის განსახვავებლად ფუნდამენტური როლი ენიჭება გამომდინარეობის მიმართებას, რომელიც შემდეგნაირად განისაზღვრება:
პროპოზიციულ LP-ლოგიკაში ნებისმიერი წანამძღვრებიდან გამომდინარეობს დანასკვი ჩ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც პროპოზიციული ენის ყველა იმ LP-ინტერპრეტაციაში, რომელშიც ყველა წანამძღვარი (ე.ი. -ს ყველა წევრი) გამორჩეულ მნიშვნელობას იღებს, გამორჩეული მნიშვნელობა მიეწერება ჩ-საც ან სხვა სიტყვებით:
╞Lპ ჩ მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც, თუ ყოველი A-სთვის -დან 1ფ(A), მაშინ, აგრეთვე, 1ფ(ჩ), სადაც ფ არის ნებისმიერი LP-შეფასება.
დებულებათა კლასიკური ლოგიკისგან განსხვავება მაშინვე ნათელი ხდება, როგორც კი ამ განსაზღვრების მიხედვით გამოვიკვლევთ დუნს სკოტის პრინციპს (აფეთქების პრინციპს)
პ, პ ╞ ქ
ნებისმიერ ინტერპრეტაციაში, რომელშიც პ-ს მნიშვნელობაა 0,1, ხოლო ქ-სი 0, ეს პრინციპი ირღვევა ისევე, როგორც ძალიან მნიშვნელოვანი გაყოფით-კატეგორიული სილოგიზმის მოდუსი
პ, პქ ╞ ქ,
რომელიც, თუ მატერიალური იმპლიკაციის მითითებულ განსაზღვრებას გავითვალისწინებთ, არის მატერიალური იმპლიკაციისთვის მოდუს პონენს-ის სხვაგვარი ჩანაწერი.
LP-ლოგიკა პრედიკატებისთვის. იმისათვის, რომ ვუჩვენოთ თუ როგორ ხასითდება სემანტიკურად იგივეობის მიმართება პრისტის LP-ლოგიკაში, აუცილებელია ავღწეროთ ამ ლოგიკის გაფართოება კვანტორებით.
სინტაქსი, როგორც პროპოზიციულ შემთხვევაში აქაც კლასიკური ლოგიკისაა. სემანტიკა კი იცვლება. ინტერპრეტაციის განსაზღვრება გარეგნულად თითქოს ტრადიციულია_ის არის წყვილი (θ,δ), სადაც θ არის ობიექტთა არაცარიელი სიმრავლე (კვანტორთა არე), δ კი არის ფუნქცია, რომელიც ყოველ საინდივიდო და საპრედიკატო სიმბოლოს უსაბამებს მნიშვნელობებს. მაგრამ თუკი საინდივიდო მუდმივის მნიშვნელობა არის ობიექტი, ნ-ადგილიანი პ პრედიკატის მნიშვნელობა არის არა θⁿ-ის (ე.ი. θ-ს ობიექტებისგან შედგენილი ყველა ნ-წევრა კორტეჟის სიმრავლის) რომელიმე ქვესიმრავლე, როგორც ეს კლასიკურ ლოგიკაშია