(კრებულიდან: “აუცილებლობის საპექტები: აპრიორულობა, იგივეობა, ეინააღმდეგობა”. თბილისი 2009. რედაქტორები: ლ. მჭედლიშვილი და თ. ცხადაძე. თარგმანა ს. ტოტოჩავამ)
ლოგიკური გამომდინარეობის ცნება არის ერთ-ერთი იმ ცნებათაგან, რომელთა შემოტანა მკაცრი ფორმალური კვლევის სფეროში არ იყო ამა თუ იმ მკვლევარის თავისუფალი გადაწყვეტილების შედეგი; ამ ცნების განსაზღვრებისას ცდილობდნენ თანხმობაში ყოფილიყვნენ ყოველდღიურ ცხოვრებაში ენის ჩვეულებრივ გამოყენებასთან. მაგრამ ეს ცდები შეეჯახა სიძნელეებს, ჩვეულებრივ თან რომ ახლავს ხოლმე ასეთ შემთხვევებს. შინაარსიის სინათლის თვალსაზრისით გამომდინარეობის ჩვეულებრივი ცნება არაფრით არ აღემატება ყოველდღიური ენის სხვა ცნებებს. მისი საზღვრები არ არის მკაცრად დადგენილი, ხოლო გამოყენება მერყევია. ნებისმიერი მცდელობა ჰარმონიაში მოეყვანათ ამ ცნების გამოყენებასთან დაკავშირებული ყველა შესაძლო ბუნდოვანი, ზოგჯერ წინააღმდეგობრივი ტენდენცია უეჭველად განწირული იყო მარცხისთვის. თავიდანვე უნდა შევურიგდეთ იმ ფაქტს, რომ ამ ცნების ყოველ ზუსტ განსაზღვრებაში გამოვლინდება მისი მეტად თუ ნაკლებად თვითნებური თავისებურებები.
ბევრ ლოგიკოსს ეგონა, რომ მან წარმატებას მიაღწია ცნებათა შედარებით მწირი მარაგის მეშვეობით გამომდინარეობის ჩვეულებრივი ცნების შინაარსის თითქმის ზუსტად გაგებაში ან, თუნდაც, ახალი ცნების განსაზღვრებაში, რომელიც გარკვეული ზომით ემთხვევა ჩვეულებრივს. ასეთი რწმენა შეიძლება ადვილად წარმოშვას დედუქციური მეცნიერების მეთოდოლოგიის ახალმა მიღწევებმა. გასული ათწლეულის განმავლობაში მათემატიკური ლოგიკის პროგრესის წყალობით ვისწავლეთ, როგორ უნდა წარმოვადგინოთ მათემატიკური დისციპლინები ფორმალიზებული დედუქციური თეორიების სახით. როგორც ცნობილია ამ თეორიებში ყოველი თეორემის დამტკიცება დაიყვანება დასკვნის ზოგიერთი მარტივი წესის, მაგალითად, ჩანაცვლებისა და მოცილების წესების ერთ ან მრავალჯერად გამოყენებაზე. ეს წესები გვეუბნება, თუ წმინდა სტრუქტურული სახის რა გარდაქმნები (ანუ გარდაქმნები, რომლებიც ეხება წინადადების მხოლოდ გარეგან სტრუქტურას) უნდა შესრულდეს აქსიომებზე და თეორიაში უკვე დამტკიცებულ თეორემებზე, რათა შესაძლებელი იყოს, რომ ყოველი წინადადება, რომელიც ასეთი გარდაქმნების შედეგად მიიღება, თვითონაც დამტკიცებულად ჩაითვალოს. ლოგიკოსებმა იფიქრეს, რომ გამოყვანის ეს ცოტაოდენი წესები ამოწურავს გამომდინარეობის ცნების შინაარსს. მათი აზრით, ყოველთვის, როდესაც წინადადება გამომდინარეობს სხვებისგან, ის შეიძლება მიღებული იქნეს მათგან მეტად თუ ნაკლებად რთული გზით წესებში აღწერილი გარდაქმნების მეშვეობით. ამ თვალსაზრისის დასაცავად სკეპტიკოსებისგან, რომლებიც ეჭვქვეშ აყენებდნენ იმას, რომ ასეთნაირად ფორმალიზებული გამომდინარეობის ცნება ნამდვილად შეესაბამება მის ჩვეულებრივ გაგებას, ლოგიკოსებს შეეძლოთ წამოეყენებინათ ერთობ დამაჯერებელი არგუმენტი: ფაქტია, რომ მათ ნამდვილად შეძლეს წარმატების მიღწევა ყველა იმ ზუსტი განსჯის ფორმალიზებული დამტკიცების სახით წარმოდგენაში, რაც კი ოდესმე განხორციელებულა მათემატიკაში.
მიუხედავად ამისა, დღეს ჩვენ ვიცით, რომ სკეპტიციზმი სრულიად გამართლებული იყო და ზემოთ მოხაზული თვალსაზრისის მხარდაჭერა არ შეიძლებოდა. რამდენიმე წლის წინ მე მოვიტანე საკმაოდ მარტივი მაგალითი თეორიისა, რომელიც გვიჩვენებს შემდეგ თავისებურებას: მის თეორემებს შორის არის წინადადებები:
A0. O-ს აქვს თვისება P,
A₁. 1-ს აქვს თვისება P,
და, საზოგადოდ, ყველა შემდეგი სახის კერძო წინადადება:
An. n-ს აქვს თვისება P,
სადაც “n” წარმოადგენს ნატურალური რიცხვის აღმნიშვნელ ნებისმიერ სიმბოლოს რომელიმე (მაგალითად, ათობით) სისტემაში. მიუხედავად ამისა, ზოგადი წინადადება
A. ყოველ ნატურალურ რიცხვს აქვს თვისება P
შეუძლებელია დამტკიცდეს ამ თეორიაში დასკვნის ნორმალური წესების გამოყენებით. ვფიქრობ, ეს ფაქტი თვითონ მეტყველებს თავის თავზე. ის გვიჩვენებს, რომ გამომდინარეობის ფორმალიზებული ცნება, რომელსაც ჩვეულებრივ იყენებენ მათემატიკური ლოგიკის წარმომადგენლები, არავითარ შემთხვევაში არ ემთხვევა მის ჩვეულებრივ ცნებას. მართლაც, ინტუიციურად ცხადი უნდა იყოს, რომ ზოგადი წინადადება A ჩვეულებრივი აზრით გამომდინარეობს კერძო Ao,A₁,…,An,… წინადადებების ერთობლიობიდან _ ყველა ეს წინადადება ჭეშმარიტი რომ იყოს, წინადადება A-ც აუცილებლად ასევე ჭეშმარიტი იქნებოდა.
ახლა აღწერილ ვითარებასთან დაკავშირებით აღმოჩნდა, რომ შესაძლებელია დასკვნის ისეთი ახალი წესების ჩამოყალიბება, რომლებიც ლოგიკური სტრუქტურით არ განსხვავდებიან ძველებისგან, ინტუიციურად ისევე შეუმცდარნი არიან, ე.ი. ჭეშმარიტი წინდადებებიდან ყოველთვის ჭეშმარიტი წინადადებებისკენ მივყავართ, მაგრამ რომელთა დაყვანა ძველ წესებზე შეუძლებელია. ამგვარი წესის მაგალითია ე.წ. უსასრულო ინდუქცია, რომლის მიხედვითაც წინადადება A შეიძლება დამტკიცებულად ჩაითვალოს, თუ დამტკიცებული იქნება ყველა A0, A₁,…,An,… წინადადება (სიმბოლოებს “A0”, “A₁” და ა.შ ვიყენებთ იმავე მნიშვნელობით, რომლითაც ვიყენებდით ზემოთ). მაგრამ ეს წესი თავისი უსასრულო ბუნებით არსებითად განსხვავდება ძველი წესებისგან. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნეს რაიმე თეორიის აგებისას, თუ უფრო ადრე შევძლებთ ამ თეორიის უსასრულოდ ბევრი წინადადების დამტკიცებას_ვითარება, რომელიც პრაქტიკულად ვერასოდეს განხორციელდება. მაგრამ ეს ნაკლი ადვილად შეიძლება დაიძლიოს ახალი წესის გარკვეული მოდიფიკაციით. ამ მიზნით ჩვენ განვიხილავთ წინადადება B-ს, რომელიც ამტკიცებს, რომ ყველა A0,A₁,…,An,… წინადადება დამტკიცებადია (და არა, რომ ყველა ის დამტკიცებულია) აქამდე გამოყენებული დასკვნის წესების საფუძველზე. ამის შემდეგ ჩამოვაყალიბებთ ახალ წესს: თუ წინადადება B დამტკიცებულია, მაშინ შესაბამისი A წინადადებაც შეიძლება ჩაითვალოს დამტკიცებულად. მაგრამ აქ შეიძლება შემოგვედავონ, რომ წინადადება B სულაც არ არის ასაგები თეორიის წინადადება, რადგან ის ეკუთვნის ე.წ. მეტათეორიას
(ანუ განსახილველი თეორიის თეორიას), ხოლო ამის გამო ამ წესის პრაქტიკული გამოყენება ყიველთვის საჭიროებს თეორიიდან მის მეტათეორიაზე გადასვლას. იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ ეს შედავება, შემოვიფარგლებით იმ დედუქციური თეორიებით, რომლებშიც შეიძლება განვითარდეს ნატურალური რიცხვების არითმეტიკა, და შევნიშნოთ, რომ თითოეულ ასეთ თეორიაში შეიძლება ინტერპრეტირებული იქნეს მისი მეტათეორიის ყველა ცნება და წინადადება (რამდენადაც შეიძლება დამყარდეს ერთი-ერთზე შესაბამისობა ენის გამოსახულებებსა და ნატურალურ რიცხვებს შორის). განსახილველ წესში წინადადება B შევცვალოთ წინადადებით B’ , რომელიც არის B-ს არითმეტიკული ინტერპრეტაცია; ამის შედეგად მივიღებთ წესს, რომელიც არსებითად არ განსხვავდება დასკვნის წესებისგან არც მისი გამოყენების პირობებით, არც მის ფორმულირებაში შემავალი ცნებების ბუნებით და, ბოლოს, არც მისი ინტუიციური შეუმცდარობით (თუმცა მათზე ბევრად რთულია).
ახლა შესაძლებელია შემოვიღოთ მსგავსი ბუნების სხვა წესები და იმდენი, რამდენიც გვესიამოვნება. საკმარისია შევნიშნოთ, რომ ფაქტობრივად ბოლოს ჩამოყალიბებული წესი არსებითადაა დამოკიდებული მოცულობაზე ცნებისა_”აქამდე გამოყენებული წესების საფუძველზე დამტკიცებადი წინადადება”. მაგრამ როდესაც შემოგვაქვს ეს წესი, ამით ვაფართოებთ ამ ცნების მოცულობას. შემდეგ, გაფართოებული მოცულობისთვის შეგვიძლია შემოვიღოთ ახალი, ანალოგიური წესი და ა.შ. უსასრულოდ. საინტერესო იქნებოდა გამოკვლევა საკითხისა, არსებობს თუ არა ობიექტური საბუთები, იმის სასარგებლოდ, რომ ჩვეულებრივად გამოყენებულ წესებს უკავიათ განსაკუთრებული მდგომარეობა.
ეს ჰიპოთეზი მიგვითითებს, რომ შეგვიძლია ბოლოს და ბოლოს გამომდინარეობის ცნების მთელი ინტუიციური შინაარსი მოვიცვათ ზემოთ აღწერილი მეთოდით, ე.ი. დედუქციური თეორიების აგებისას გამოყენებული დასკვნის წესების შევსებით. კ.გიოდელის შედეგების გამოყენებით შეგვიძლია ვუჩვენოთ, რომ ეს ვარაუდი უსაფუძვლოა. ყოველ დედუქციურ თეორიაში (გარდა განსაკუთრებულად ელემენტარული ბუნების გარკვეული თეორიებისა) რაც არ უნდა შევავსოთ ჩვეულებრივი დასკვნის წესები ახალი, წმინდა სტრუქტურული წესებით, შესაძლებელია ავაგოთ წინადადებები, რომლებიც გამომდინარეობენ ჩვეულებრივი აზრით ამ თეორიის თეორემებიდან, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, რომელთა დამტკიცება შეუძლებელია ამ თეორიაში მიღებული დასკვნის წესების საფუძველზე. იმისათვის, რომ მივიღოთ გამომდინარეობის მართებული ცნება, რომელიც არსებითად არის ახლოს ჩვეულებრივ ცნებასთან, უნდა მივმართოთ სრულიად განსხვავებულ მეთოდებს და თვითონ განსაზღვრებაში გამოვიყენოთ სხვა ცნებითი აპარატი; თუმცა, ზედმეტი არ იქნება წინასწარ შევნიშნოთ, რომ ახალთან შედარებით გამომდინარეობის ძველი ცნება, როგორც მას ჩვეულებრივ იყენებდნენ მათემატიკური ლოგიკის წარმომადგენლები, არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. ამ ცნებას, ალბათ, ყოველთვის ექნება გადამწყვეტი მნიშვნელობა დედუქციური თეორიების პრაქტიკული აგებისათვის, როგორც ინსტრუმენტს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ ან დავარღვიოთ ამ თეორიების კონკრეტული წინადადებები. მაგრამ ჩანს, რომ ზოგადი თეორიული ხასითის განხილვებში გამომდინარეობის მართებული ცნება უნდა იყოს წინა პლანზე.
გამომდინარეობის მართებული ცნების ზუსტი განსაზღვრების პირველი ცდა ეკუთვნის რ.კარნაპს. მაგრამ ეს ცდა მჭიდროდ არის დაკავშირებული კვლევის საგნად არჩეული ფორმალიზებული ენის კონკრეტულ თვისებებთან. კარნაპის მიერ შემოთავაზებული განსაზღვრება შეიძლება ასე ჩამოყალიბდეს:
წინადადება x ლოგიკურად გამომდინარეობს K კლასში შემავალი წინადადებებიდან მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც კლასი, რომელიც შეიცავს K-ს ყველა წინადადებას და x-ის უარყოფას, არის წინააღმდეგობრივი.
ცხადია, რომ ამ განსაზღვრების გადამწყვეტი ელემენტი არის ცნება “წინააღმდეგობრივი”. ამ ცნების კარნაპისეული განსაზღვრება ძალზე რთული და სპეციფიკურია იმისთვის, რომ შევძლოთ მისი გადმოცემა გრძელი და მოსაბეზრებელი განმარტებების გარეშე.
მინდა აქ მოვხაზო ზოგადი მეთოდი, რომელიც, ჩემი აზრით, საშუალებას მოგვცემს ავაგოთ გამომდინარეობის ცნების ადექვატური განსაზღვრება ფორმალიზებული ენების ფართო კლასისთვის. თუმცა, ხაზს ვუსვამ, რომ გამომდინარეობის ცნების შემოთავაზებულ გაგებას არა აქვს განსაკუთრებული პრეტენზია სრულ ორიგინალურობაზე. ბევრ ლოგიკოსს, რომელიც დიდი ყურადღებით ეკიდებოდა გამომდინარეობის ცნებას და ცდილობდა უფრო ზუსტად დაეხასიათებინა ის, ამ მიდგომაში ჩაქსოვილი იდეები რაღაც ძალიან ნაცნობად და, შესაძლოა, თავისადაც მოეჩვენება. მიუხედავად ამისა, მე ვფიქრობ, რომ მხოლოდ ის მეთოდები, რომლებიც მეცნიერული სემანტიკის დაფუძნებისთვის ბოლო წლებში განვითარდა, და მათი დახმარებით განსაზღვრებადი ცნებები გვაძლევენ საშუალებას წარმოვიდგინოთ ეს იდეები ზუსტი ფორმით.
ჩვენთვის ამოსავალი იქნება ინტუიციური ხასიათის გარკვეული განხილვა. ავიღოთ წინადადების ნებისმიერი კლასი K და წინადადება x, რომელიც გამომდინარეობს ამ კლასის წინადადებებიდან. ინტუიციური თვალსაზრისით შეუძლებელია მოხდეს, რომ K კლასი შედგებოდეს მხოლოდ ჭეშმარიტი წინადადებებისგან, ხოლო x იყოს მცდარი. უფრო მეტიც, აქ ჩვენ ვეხებით გამომდინარეობის ლოგიკურ ანუ ფორმალურ ცნებას და, მაშასადამე, მიმართებას, რომელიც მთლიანად განისაზღვრება იმ წინადადებების ფორმით, რომელთა შორის ეს მიმართება არსებობს. ამ მიმართებაზე არ შეიძლება გავლენა იქონიოს ემპირიულმა ცოდნამ, და, კერძოდ, იმ ობიექტების ცოდნამ, რომლებზეც მიუთითებს წინადადება x და K კლასის შემადგენელი წინადადებები. გამომდინარეობის მიმართებაზე არ შეიძლება გავლენა იქონიოს ამ წინადადებებში მითითებული ობიექტების აღნიშვნების ჩანაცვლებამ სხვა ობიექტების აღნიშვნებით. ეს ორი გარემოება, როგორც ჩანს, ძალზედ დამახასიათებელი და არსებითი გამომდინარეობის ცნებისთვის, შეიძლება გამოვთქვათ ერთობლივად შემდეგი დებულებით:
(F) თუ K კლასის წინადადებებში და x წინადადებაში მუდმივებს_წმინდა ლოგიკური მუდმივების გარდა_ჩავანაცვლებთ ნებისმიერი სხვა მუდმივებით (ამასთან,ისე რომ მსგავსი სიმბოლოები ყველგან იცვლება მსგავსი სიმბოლოებით) და ამ გზით K-დან მიღებულ კლასს აღვნიშნავთ “K’ “-ით, ხოლო x-იდან მიღებულ წინადადებას “x’ “-ით, მაშინ x’ წინადადება უნდა იყოს ჭეშმარიტი, თუკი K’ კლასის ყველა წინადადება იქნება ჭეშმარიტი.
[განხილვის გამარტივებისთვის აქაც და ქვემოთაც გარკვეული თანმხლები გართულებები უგულებელყოფილია; ისინი ნაწილობრივ დაკავშირებულია ლოგიკური ტიპების თეორიასთან და ნაწილობრივ განსახილველ წინადადებაში შემავალი ნებისმიერი განსაზღვრებით შემოტანილი სიმბოლოს ელიმინაციის, ანუ მათი საწყისი სიმბოლოებით ჩანაცვლების აუცილებლობასთან ].
(F) დებულებაში ჩვენ მივიღეთ აუცილებელი პირობა იმისა, რომ x წინადადება იყოს K კლასის შედეგი. ახლა ისმის კითხვა _ საკმარისიცაა თუ არა ეს პირობა? თუ ამ კითხვას დადებითი პასუხი ექნებოდა, მაშინ გამომდინარეობის ცნების ადექვატური განსაზღვრების ფორმულირების პრობლემაც დადებითად გადაწყდებოდა. ერთადერთ სიძნელეს ვაწყდებით ტერმინ “ჭეშმარიტ”-თან დაკავშირებით, რომელიც (F) პირობაში გვხვდება. მაგრამ ეს ტერმინი შეიძლება ზუსტად და ადექვატურად განისაზღვროს სემანტიკაში.
სამწუხაროდ ეს ვითარება არც ისე ხელსაყრელია. შესაძლებელია მოხდეს _ და არ არის ძნელი ამის ჩვენება სპეციალური ფორმალიზებული ენების განხილვით _, რომ (F) სრულდება, ხოლო წინადადება x მაინც არ გამომდინარეობს ჩვეულებრივი აზრით K კლასის წინადადებებიდან. ეს პირობა შეიძლება ფაქტობრივად დაკმაყოფილდეს მხოლოდ იმიტომ, რომ განსახილველ ენაში არ არის ექსტრალოგიკური მუდმივების საკმარისი მარაგი. (F) პირობა შეიძლება ჩაითვალოს საკმარისად იმისათვის, რომ x წინადადება გამომდინარეობდეს K კლასიდან, თუკი განსახილველ ენაში გვექნებოდა ყველა შესაძლო ობიექტის აღნიშვნა; ოღონდ ეს ვარაუდი არის ფიქცია და ის ვერასდროს ვერ განხორციელდება. ამიტომ ჩვენ უნდა მოვძებნოთ ამ ფიქტიური ვარაუდისგან სრულიად დამოუკიდებელი საშუალებები (F) პირობაში ნაგულისხმევი ინტენციების გამოსახატავად.
ასეთ საშუალებებს იძლევა სემანტიკა. სემანტიკის ფუნდამენტურ ცნებებს შორის გვაქვს ერთეული ობიექტებით ან ობიექტთა მიმდევრობებით საწინადადებო ფუნქციის დაკმაყოფილების ცნება. ალბათ, ზედმეტი იქნებოდა აქ ამ ცნების შინაარსის ზუსტი ახსნა. ინტუიციური საზრისი ისეთი ფრაზებისა, როგორიცაა: ჯონი და პიტერი აკმაყოფილებენ პირობას “x და y არიან ძმები”, ან რიცხვთა სამეული 2, 3 და 5 აკმაყოფილებს პირობას “x+y=z”, არავითარ ეჭვებს არ წარმოშობს. დაკმაყოფილების ცნება, მსგავსად სხვა სემანტიკური ცნებებისა, ყოველთვის შეფარდებული უნდა იყოს რომელიმე კონკრეტულ ენასთან; მისი ზუსტი განსაზღვრების დეტალები დამოკიდებულია ამ ენის სტრუქტურაზე. მიუხედავად ამისა, შესაძლებელია შევიმუშაოთ ზოგადი მეთოდი, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ავაგოთ ასეთი განსაზღვრებები ფორმალიზებული ენების ვრცელი კლასისათვის. ტექნიკური მიზეზების გამო, სამწუხაროდ, აქ შეუძლებელია მოვხაზოთ ეს მეთოდი ან, თუნდაც, მისი ზოგადი კონტურები.
ერთ-ერთი ცნება, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს დაკმაყოფილების ცნების საშუალებით, არის მოდელის ცნება. ვივარაუდოთ, რომ ენაში ყოველ ექსტრალოგიკურ მუდმივთან შესაბამებული გვაქვს გარკვეული ცვლადები; ყოველი წინადადება იქცევა საწინადადებო ფუნქციად, თუ მასში მუდმივები ჩანაცვლებულია შესაბამისი ცვლადებით. ვთქვათ, L წინადადებების ნებისმიერი კლასია. ჩავანაცვლოთ ყველა ექსტრალოგიკური მუდმივი, რომელიც გვხვდება L-ში შემავალ წინადადებებში, შესაბამისი ცვლადებით ისე, რომ მსგავსი მუდმივები ჩანაცვლდეს მსგავსი ცვლადებით, განსხვავებულები _ განსხვავებულებით. მივიღებთ საწინადადებო ფუნქციების L’ კლასს. ობიექტების ნებისმიერ მიმდევრობას, რომელიც აკმაყოფილებს L’ კლასის ყოველ საწინადადებო ფუნქციას, ვუწოდებთ წინადადებათა L კლასის მოდელს ანუ რეალიზაციას (ჩვეულებრივად, სწორედ ამ აზრით ლაპარაკობენ დედუქციური თეორიის აქსიომათა სისტემის მოდელებზე). კერძოდ, თუ L კლასი შედგება ერთადერთი x წინადადებისგან, L კლასის მოდელს შეგვიძლია ვუწოდოთ აგრეთვე x წინადადების მოდელი.
ამ ცნებების გამოყენებით შეგვიძლია შემდეგნაირად განვსაზღვროთ ლოგიკური გამომდინარეობის ცნება:
წინადადება x ლოგიკურად გამომდინარეობს K კლასის წინადადებებიდან მაშინ და მხოლოდ მაშინ, როდესაც K კლასის ყოველი მოდელი არის ამავე დროს x წინადადების მოდელი .
ვფიქრობ, ყველამ, ვისაც ესმის ამ განსაზღვრების შინაარსი, უნდა აღიაროს, რომ ის თანხმობაშია მის ჩვეულებრივ გამოყენებასთან. განსაზღვრების ზოგიერთი შედეგი კიდევ უფრო ცხადს ხდის ამას. სახელდობრ, ამ განსაზღვრების საფუძველზე შეიძლება დამტკიცდეს, რომ ჭეშმარიტი წინადადებების ყველა შედეგი უნდა იყოს ჭეშმარიტი და ასევე, რომ გამომდინარეობის მიმართების არსებობა მოცემულ წინადადებებს შორის სრულიად არ არის დამოკიდებული ექსტრალოგიკურ მუდმივებზე, რომლებიც გვხვდება ამ წინადადებებში. მოკლედ, შეიძლება ნაჩვენები იქნეს, რომ ზემოთ ჩამოყალიბებული (F) პირობა აუცილებელია, რათა x წინადადება გამომდინარეობდეს K კლასის წინადადებებიდან. მეორეს მხრივ, ეს პირობა, საზოგადოდ, არ არის საკმარისი ამისათვის, რადგან გამომდინარეობის აქ განსაზღვრული ცნება (ჩვენს მიერ მიღებულ თვალსაზრისთან თანხმობაში) დამოუკიდებელია საკვლევი ენის ცნებათა მარაგის სიმდიდრისაგან.
ბოლოს, არ არის ძნელი შემოთავაზებული განსაზღვრების მორგება კარნაპისეულ განსაზღვრებასთან. მართლაც, შეგვიძლია შევთანხმდეთ, რომ წინადადებათა კლასს ვუწოდოთ წინააღმდეგობრივი, თუკი მას არა აქვს მოდელი. მსგავსად ამისა, წინადადებათა კლასს შეიძლება ვუწოდოთ ანალიზური, თუ ობიექტთა ყოველი მიმდევრობა არის მისი მოდელი. ორივე ეს ცნება შეიძლება მივუყენოთ არა მხოლოდ წინადადებათა კლასებს, არამედ, ცალკეულ წინადადებებსაც. დავუშვათ, რომ განსახილველ ენაში ყოველი x წინადადებისთვის არსებობს მისი უარყოფა, ანუ ისეთი y წინადადება, რომლისთვისაც მოდელია ობიექტთა ყველა ის და მხოლოდ ის მიმდევრობა, რომელიც არ არის x-ის მოდელი (ეს ვარაუდი არსებითია კარნაპის კონსტრუქციისთვის). ყველა ამ შეთანხმებისა და ვარაუდის საფუძველზე ადვილად მტკიცდება ამ ორი განსაზღვრების ტოლფასობა. ჩვენ ასევე შეგვიძლია ვუჩვენოთ, როგორც ეს კარნაპმა გააკეთა, რომ ანალიზურია ყველა ის და მხოლოდ ის წინადადება, რომელიც გამომდინარეობს წინადადებათა ყოველი კლასიდან (კერძოდ, ცარიელი კლასიდან) და წინააღმდეგობრივია ყველა ის და მხოლოდ ის წინდადება, რომლისგანაც ყველა წინადადება გამომდინარეობს.
მე სულაც არ ვფიქრობ, რომ ზემოთ მოტანილი განხილვის შედეგად გამომდინარეობის ცნების მატერიალურად ადექვატური განსაზღვრების პრობლემა მთლიანად გადაწყდა. პირიქით, მე ისევ ვხედავ რამდენიმე ღია საკითხს, რომელთაგან ახლა მხოლოდ ერთზე, ალბათ, ყველაზე მნიშვნელოვანზე შევჩერდები.
მთელი ჩვენი კონსტრუქციის საფუძველია განსახილველი ენის ყველა ტერმინის გაყოფა ლოგიკურ და ექსტრალოგიკურ ტერმინებად. ეს გაყოფა არ არის ნამდვილად მთლიანად თვითნებური. მაგალითად, თუ ჩვენ ექსტრალოგიკურ სიმბოლოებს მივაკუთვნებდით იმპლიკაციის სიმბოლოს ან ზოგადობის კვანტორს, მაშინ გამომდინარეობის ცნების ჩვენი განსაზღვრება მიგვიყვანდა მისი ჩვეულებრივი გამოყენების აშკარად საწინააღმდეგო შედეგებამდე. მეორეს მხრივ, ჩემთვის ცნობილი არ არის არც ერთი ობიექტური საბუთი, რომელიც უფლებას მოგვცემდა გაგვევლო მკაცრი საზღვარი ტერმინთა ამ ორ ჯგუფს შორის. ამავე დროს შესაძლებელი ჩანს, ჩვეულებრივ გამოყენებასთან მკვეთრი დაპირისპირების გარეშე ლოგიკურ ტერმინებს მივაკუთვნოთ ზოგიერთი ისეთი ტერმინი, რომელიც ლოგიკოსებს ჩვეულებრივად ექსტრალოგიკურად მიაჩნიათ. უკიდურესი შემთხვევა იქნებოდა ენის ყველა ტერმინი ლოგიკურ ტერმინად მიგვეჩნია. მაშინ ფორმალური გამომდინარეობა დაემთხვეოდა მატერიალურ გამომდინარეობას. ამ შემთხვევაში გვექნებოდა, რომ წინადადება x გამომდინარეობს წინადადებათა K კლასიდან, თუ ან x არის ჭეშმარიტი, ან K კლასის თუნდაც ერთი წინადადება _ მცდარი .
რათა დავინახოთ ამ პრობლემის მნიშვნელობა გარკვეული ფილოსოფიური თვალსაზრისებისათვის, საკმარისია შევნიშნოთ, რომ ტერმინების ლოგიკურ და ექსტრალოგიკურ ტერმინებად გაყოფა ასევე არსებით როლს თამაშობს ცნება “ანალიზურის” ნათელყოფაში. მაგრამ ბევრი ლოგიკოსის თანახმად, ეს უკანასკნელი ცნება მიჩნეულია ტავტოლოგიის (ე.ი. დებულებისა, რომელიც “არაფერს ამბობს რეალობის შესახებ”) ცნების ზუსტ კორელატად, ცნებისა, რომელიც პირადად ჩემთვის ერთობ ბუნდოვანია, თუმცა, იგი ფუნდამენტური მნიშვნელობის იყო ლ.ვიტგენშტაინისა და მთელი ვენის წრისათვის მათ ფილოსოფიურ განაზრებებში.
შემდგომი კვლევა უეჭველად ნათელს მოფენს ჩვენთვის საინტერესო პრობლემას. იქნებ მოიძებნოს საფუძვლიანი ობიექტური არგუმენტები, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს უფრო მყარი გავხადოთ ტრადიციული საზღვარი ლოგიკურ და ექსტრალოგიკურ გამოსახულებებს შორის. მაგრამ სავსებით შესაძლებელი მგონია ისიც, რომ ამ კვლევებმა ამ მიმართულებით ვერ მოგვცეს ვერავითარი პოზიტიური შედეგები და ჩვენ იძულებულები გავხდეთ მივიჩნიოთ ისეთი ცნებები, როგორიცაა “ლოგიკური შედეგი”, “ანალიზური დებულება” და “ტავტოლოგია” მიმართებით ცნებებად, რომლებიც ყველა გარემოებაში შეფარდებულები იქნებიან ტერმინთა გარკვეულ, თუმცა, მეტად თუ ნაკლებად თვითნებურ გაყოფასთან ლოგიკურ და ექტრალოგიკურ ტერმინებად. გამომდინარეობის ცნების ჩვეულებრივ გამოყენებაში არსებული ეს მერყეობა, ნაწილობრივ მაინც, სრულიად ბუნებრივად იქნება ასახული ამ იძულებით ვათრებაში.